지속적인 복리 관심

복리이자는 초기 원금과 예치금 또는 대출 이전 기간의 누적이자에 대해 계산 된이자입니다. 복리 관심의 효과는 빈도에 따라 다릅니다.

연간 이자율이 12 %라고 가정하십시오. 우리가 $ 100로 연도를 시작하면 연말에 단 한 번만 복리를 지불하면 교장은 $ 112 ($ 100 x 1.12 = $ 112)로 증가합니다. 매월 1 % 씩 복리로 처리하면 연말에 112 달러 이상이됩니다. 즉, $ 112.68에서 $ 100 x 1.01 ^ 12입니다. (우리가 더 자주 합성했기 때문에 더 높습니다.)

연속 합성은 가장 빈번하게 합성을 반환합니다. 연속 컴 파운딩은 컴파운드 관심 분야에 도달 할 수있는 수학적 한계입니다. 대부분의이자가 월별, 분기 별 또는 반년 단위로 복리되기 때문에 극단적 인 복리의 경우입니다.

반년 수익률

먼저 혼란 스러울 수있는 규칙을 살펴 보겠습니다. 채권 시장에서 우리는 채권 등가 수익률 (또는 채권 등가 기준)을 말합니다. 즉, 채권이 반년마다 6 %를 산출하면 그에 상응하는 수익률은 12 %입니다.

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반기 수율은 단순히 두 배가됩니다. 12 % 채권과 동등한 수익률 채권의 유효 수익률이 12.36 % (즉, 1.06 ^ 2 = 1.1236)이기 때문에 혼동 될 수 있습니다. 반년마다 수익률을 두 배로 늘리는 것은 채권 명명 규칙입니다. 따라서 반년마다 약 8 %의 본드 컴파운드를 읽는다면, 이는 4 % 반년 수익률을 의미한다고 가정합니다.

분기 별, 월별 및 일일 수익률

이제 더 높은 주파수에 대해 설명하겠습니다. 우리는 여전히 12 %의 연간 시장 이자율을 가정하고 있습니다. 본드 명명 규칙 하에서, 이는 6 % 반기 화합물 비율을 의미합니다. 이제 분기 별 금리를 시장 이자율의 함수로 표현할 수 있습니다.

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연간 시장 금리 ( r)가 주어지면 분기 별 금리 ( _rq) 는 다음과 같이 주어집니다.

의 $\begin{matrix} {아르 자형}_{큐} = 4 \end{matrix} \ begin {aligned} & r_q = 4 \ left \\ \ end {aligned}$ rq = 4

예를 들어, 연간 시장 비율이 12 % 인 경우 분기 별 비율은 11.825 %입니다.

의 $\begin{matrix} {아르 자형}_{큐} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \ % \\ \ end {aligned}$ rq = 4≅11.825 %

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비슷한 논리가 월별 복리 계산에도 적용됩니다. 월간 복리 율 ( r _m )은 연간 시장 이자율 ( r) 의 함수로 제공됩니다 .

시장 이자율 ( r) 의 함수 인 일일 복합 요율 ( d ) 은 다음과 같습니다.

의 $\begin{matrix} {아르 자형}_{디} & = 삼 60 \\ = 삼 60 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ begin {aligned} r_d & = 360 \ left \\ & = 360 \ left \\ & \ cong 11.66 \ % \\ \ end {aligned}$ rd = 360 = 360≅11.66 %

연속 컴 파운딩 작동 방식

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복합 주파수를 한계까지 늘리면 지속적으로 복합됩니다. 이것이 실용적이지는 않지만, 지속적으로 복합 금리는 놀랍도록 편리한 속성을 제공합니다. 지속적으로 복합 이자율은 다음과 같이 계산됩니다.

의 $\begin{matrix} {아르 자형}_{씨 영형 엔 티 나는 엔 유 영형 유 에스} = \ln (1 + 아르 자형) \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln (1 + r) \ \ end {aligned}$ 비 연속 = ln (1 + r)

Ln () 은 자연 로그 이며이 예에서 연속적으로 혼합되는 비율은 다음과 같습니다.

의 $\begin{matrix} {아르 자형}_{씨 영형 엔 티 나는 엔 유 영형 유 에스} = \ln (1 + 0.12) = \ln (1.12) ≅ 11 . 삼 삼 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) cong 11.33 \ % \\ \ end {aligned}$ 비 연속 = ln (1 + 0.12) = ln (1.12) ≅11.33 %

우리는이 비율의 자연 로그를 취함으로써 동일한 장소에 도달합니다: 종료 값을 시작 값으로 나눈 값.

의 $\begin{matrix} {아르 자형}_{씨 영형 엔 티 나는 엔 유 영형 유 에스} = \ln (\frac{값_{종료}}{값_{스타트}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11 . 삼 삼 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ 왼쪽 ( frac {112} {100} right) cong 11.33 \ % \\ \ end {aligned}$ 연속 = ln (ValueStart 밸류 엔드) = ln (100112). 11.33 %

후자는 주식에 대해 지속적으로 복리 수익을 계산할 때 일반적입니다. 예를 들어, 주식이 다음날 $ 10에서 $ 11로 점프하는 경우 지속적으로 복합적인 일일 수익은 다음과 같이 제공됩니다.

의 $\begin{matrix} {아르 자형}_{씨 영형 엔 티 나는 엔 유 영형 유 에스} = \ln (\frac{값_{종료}}{값_{스타트}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.5 삼 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ 왼쪽 ( frac { $ 11} { $ 10} right) cong 9.53 \ % \\ \ end {aligned}$ 연속 = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11) ≅9.53 %

우리가 r _c로 표시 할 연속 복리 율 (또는 수익률)에 대해 무엇이 그렇게 좋습니까? 첫째, 쉽게 확장 할 수 있습니다. (P)의 교장을 감안할 때 (n) 년에 걸친 우리의 최종 재산은 다음과 같이 주어진다:

의 $\begin{matrix} 승 = 피 {이자형}^{{아르 자형}_{씨} 엔} \end{matrix} \ begin {aligned} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {aligned}$ w = Percn

e 는 지수 함수입니다. 예를 들어, 우리가 $ 100로 시작하여 3 년 동안 8 %로 지속적으로 합성한다면, 최종 재산은 다음과 같이 주어집니다:

의 $\begin{matrix} 승 = $ 100 {이자형}^{(0.08) (삼)} = $ 127.12 \end{matrix} \ begin {aligned} & w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ end {aligned}$ w = $ 100e (0.08) (3) = $ 127.12

현재 가치 (PV) 로의 할인은 단순히 역순으로 복합 되므로 ( r _c) 의 비율로 연속적으로 합성되는 미래 가치 (F)의 현재 가치는 다음과 같이 주어집니다.

의 $\begin{matrix} (n) 년 안에받은 F의 PV = \frac{에프}{{이자형}^{{아르 자형}_{씨} 엔}} = 에프 {이자형}^{- {아르 자형}_{씨} 엔} \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {Pn of F in (n) years} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {aligned}$ (n) 년 동안받은 F의 PV = ercnF = Fe-rcn

예를 들어, 6 % 연속 요금으로 3 년 안에 $ 100를 받으려는 경우 현재 가치는 다음과 같습니다.

의 $\begin{matrix} PV = 에프 {이자형}^{- {아르 자형}_{씨} 엔} = ($ 100) {이자형}^{- (0.06) (삼)} = $ 100 {이자형}^{- 0.18} ≅ $ 8 삼 . 5 삼 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {-(0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ $ 83.53 \\ \ end {aligned}$ PV = Fe-rcn = ($ 100) e− (0.06) (3) = $ 100e−0.18≅ $ 83.53

여러 기간에 걸쳐 확장

지속적으로 복합 수익률의 편리한 속성은 여러 기간에 걸쳐 확장된다는 것입니다. 첫 번째 기간의 수익률이 4 %이고 두 번째 기간의 수익률이 3 % 인 경우 두 기간 수익률은 7 %입니다. 첫해 말에 120 달러로, 두 번째 해 말에 150 달러로 성장하는 100 달러로 연도를 시작한다고 가정 해보십시오. 연속 복리 수익률은 각각 18.23 %와 22.31 %입니다.

의 $\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18.2 삼 % \end{matrix} \ begin {aligned} & \ ln \ left ( frac {120} {100} right) cong 18.23 \ % \\ \ end {aligned}$ ln (100120) ≅18.23 %

의 $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22 . 삼 1 % \end{matrix} \ begin {aligned} & \ ln \ left ( frac {150} {120} right) cong 22.31 \ % \\ \ end {aligned}$ ln (120150) ≅22.31 %

단순히 함께 추가하면 40.55 %가됩니다. 이것은 2주기 수익률입니다.

의 $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ begin {aligned} & \ ln \ left ( frac {150} {100} right) cong 40.55 \ % \\ \ end {aligned}$ ln (100150) ≅40.55 %

기술적으로 말하면, 지속적인 수익은 시간이 일정합니다. 시간 일관성은 VAR (Value at Risk)에 대한 기술 요구 사항입니다. 즉, 단일 기간 반환이 정규 분포 랜덤 변수 인 경우 다중 기간 랜덤 변수도 정규 분포를 원합니다. 더욱이, 다중 기간 연속 복리 수익률은 정규 분포 (예: 단순한 백분율 수익률과 달리)로 분배됩니다.

결론

연간 이자율을 반년, 분기, 월별 또는 일일 이자율 (또는 수익률)로 재구성 할 수 있습니다. 가장 빈번한 컴 파운딩은 연속 컴 파운딩으로, 우리는 자연적인 로그와 지수 함수를 사용해야합니다.이 함수는 바람직한 특성으로 인해 재무에서 일반적으로 사용됩니다. 여러 기간에 걸쳐 쉽게 확장되며 시간이 일정합니다.

차례:

반년 수익률

분기 별, 월별 및 일일 수익률

연속 컴 파운딩 작동 방식

여러 기간에 걸쳐 확장

결론

편집자의 선택