몬테 카를로 시뮬레이션으로 더 똑똑하게 내기

금융 분야에서는 다양한 잠재적 결과로 인한 수치 또는 금액의 미래 가치를 추정하는 데 상당한 불확실성과 위험이 있습니다. MCS (몬테카를로 시뮬레이션)는 미래의 결과를 추정하는 데 관련된 불확실성을 줄이는 데 도움이되는 기술 중 하나입니다. MCS는 복잡한 비선형 모델에 적용하거나 다른 모델의 정확성과 성능을 평가하는 데 사용할 수 있습니다. 리스크 관리, 포트폴리오 관리, 가격 책정 파생 상품, 전략 기획, 프로젝트 계획, 비용 모델링 및 기타 분야에서도 구현할 수 있습니다.

정의

MCS는 모델의 입력 변수에 대한 불확실성을 확률 분포로 변환하는 기술입니다. 분포를 결합하고 무작위로 값을 선택함으로써 시뮬레이션 모델을 여러 번 재 계산하고 결과 확률을 도출합니다.

기본 특성

MCS를 사용하면 여러 입력을 동시에 사용하여 하나 이상의 출력의 확률 분포를 만들 수 있습니다. 모형의 입력에 다른 유형의 확률 분포를 할당 할 수 있습니다. 분포를 알 수없는 경우 가장 적합한 분포를 나타내는 분포를 선택할 수 있습니다. 난수를 사용하면 확률 적 방법으로 MCS가 특성화됩니다. 난수는 독립적이어야합니다. MCS는 출력을 고정 된 값 대신 범위로 생성하고 출력 값이 범위에서 발생할 가능성을 보여줍니다.

MCS에서 자주 사용되는 확률 분포

정규 / 가우시안 분포 – 평균과 표준 편차가 제공되고 평균이 변수의 가장 가능성있는 값을 나타내는 상황에 적용되는 연속 분포입니다. 평균을 중심으로 대칭이며 경계가 없습니다.

로그 정규 분포 – 평균 및 표준 편차로 지정된 연속 분포입니다. 양의 왜도 및 정규 분포 된 자연 로그를 사용하여 0에서 무한대의 변수에 적합합니다.

삼각 분포 – 고정 된 최소값 및 최대 값을 사용한 연속 분포. 최소값과 최대 값으로 제한되며 대칭 (가장 가능성이 높은 값 = 평균 = 중앙값)이거나 비대칭 일 수 있습니다.

균일 분포 – 알려진 최소값 및 최대 값으로 제한되는 연속 분포입니다. 삼각 분포와 달리 최소값과 최대 값 사이의 값이 발생할 가능성은 같습니다.

지수 분포 – 발생률을 알고있는 경우 독립 발생 사이의 시간을 설명하는 데 사용되는 연속 분포입니다.

MCS 배후의 수학

확률 주파수 함수 P (x) (X가 이산 인 경우) 또는 확률 밀도 함수 f (x) (X가 연속적인 경우)를 갖는 실제 값 함수 g (X)가 있다고 가정합니다. 그런 다음 g (X)의 예상 값을 개별 및 연속 항으로 각각 정의 할 수 있습니다.

의 $\begin{matrix} 이자형 (지 (엑스)) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} 지 (엑스) 피 (엑스), \\ 어디 피 (엑스) > 0 과 \sum_{- \infty}^{+ \infty} 피 (엑스) = 1 \\ 이자형 (지 (엑스)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 지 (엑스) 에프 (엑스) 디 엑스, \\ 어디 에프 (엑스) > 0 과 \int_{- \infty}^{+ \infty} 에프 (엑스) 디 엑스 = 1 \\ 다음으로의 무작위 도면을 만듭니다. 엔 엑스 ({엑스}_{1}, \dots, {엑스}_{엔}) \\ 시운전 또는 시뮬레이션 실행, 계산 지 ({엑스}_{1}), \dots, 지 ({엑스}_{엔}) \end{matrix} \ begin {aligned} & E (g (X)) = \ sum ^ {+ \ infty} _ {-\ infty} g (x) P (x), \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {여기서} P (x)> 0 \ text {및} sum ^ {+ \ infty} _ {-\ infty} P (x) = 1 \\ & E (g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ {-\ infty} g (x) f (x) , dx, \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {여기서} f (x)> 0 \ text {및} int ^ {+ \ infty} _ {-\ infty} f (x) , dx = 1 \\ & \ text {다음, $ X (x_1, \ ldots, x_n) $의 임의의 $ n $ 임의의 도면을 작성} \ & \ text {시험 실행 또는 시뮬레이션 실행, $ g (x_1), \ ldots, g (x_n) $} \ & \ text {를 계산하고 샘플의 $ g (x) $의 평균을 구하십시오.} end {aligned}$ E (g (X)) = − ∞∑ + ∞g (x) P (x), 여기서 P (x)> 0 및 -∞∑ + ∞P (x) = 1E (g (X)) = ∫−∞ + ∞ g (x) f (x) dx, 여기서 f (x)> 0 및 ∫−∞ + ∞f (x) dx = 1은 X (x1)의 n 개의 임의의 그림을 만듭니다., xn), 시범 실행 또는 시뮬레이션 실행, g (x1), …, g (xn) 계산

의 $\begin{matrix} 지_{엔}^{μ} (엑스) = \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} 지 ({엑스}_{나는}), 최종 시뮬레이션을 나타냅니다 \\ ~의 가치 이자형 (지 (엑스)) . \\ 따라서 지_{엔}^{μ} (엑스) = \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} 지 (엑스) 몬테카를로 \\ 의 견적 자 이자형 (지 (엑스)) . \\ 같이 엔 \to \infty, 지_{엔}^{μ} (엑스) \to 이자형 (지 (엑스)), 따라서 우리는 지금 할 수 있습니다 \\ 추정 평균 주위의 분산을 계산 \\ 편향되지 않은 분산 지_{엔}^{μ} (엑스) : \end{matrix} \ begin {aligned} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ text {최종 시뮬레이션을 나타냅니다} \ & \ text { } E (g (X))의 값. \\\\ & \ text {따라서} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (X) text {는 Monte Carlo} \ & \ text {} E (g (X))의 추정치입니다. \\\\ & \ text {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) E (g (X))로, \ text {이제 우리는} \ & \ text {} \ & \ text {}의 편차없는} g ^ \ mu_n (X) text {:} \ & Var (g ^ \ mu_n (X)) = \ frac {1} {n-1} sum ^ n_ {i = 1} (g (x_i) -g ^ \ mu_n (x)) ^ 2. \ end {aligned}$ gnμ (x) = n1i = 1∑ng (xi)는 E (g (X))의 최종 시뮬레이션 값을 나타내므로 gnμ (X) = n1i = 1∑n g (X)는 E (g (X))의 Monte Carloestimator가 될 것입니다.n → ∞, gnμ (X) → E (g (X))이므로 이제 추정 평균 주변의 분산을 계산할 수 있습니다. 편차 gnμ (X)의 편차:

간단한 예

단가, 단가 및 변동 비용의 불확실성이 EBITD에 어떤 영향을 미칩니 까?

삼각 분포를 사용하여 입력 값 (단가, 단위 판매 및 가변 비용)의 불확실성을 표에서 입력의 최소값과 최대 값으로 각각 설명합니다.

저작권

감도 차트

민감도 차트는 출력이 입력에 미치는 영향을 분석 할 때 매우 유용합니다. 즉, 단위 판매는 시뮬레이션 된 EBITD의 차이의 62 %, 가변 비용은 28.6 %, 단가는 9.4 %를 차지합니다. 단가와 EBITD, 단가와 EBITD의 상관 관계는 양수이거나 단가 또는 단가 상승으로 인해 EBITD가 증가합니다. 반면 변동 비용과 EBITD는 음의 상관 관계가 있으며 변동 비용을 줄이면 EBITD가 증가합니다.

저작권

실제 값과 일치하지 않는 확률 분포로 입력 값의 불확실성을 정의하고 그로부터 샘플링하면 잘못된 결과가 발생합니다. 또한 입력 변수가 독립적이라는 가정이 유효하지 않을 수 있습니다. 잘못된 결과는 상호 배타적이거나 두 개 이상의 입력 분포간에 유의 한 상관 관계가있는 입력에서 나올 수 있습니다.

결론

MCS 기술은 간단하고 유연합니다. 불확실성과 위험을 제거 할 수는 없지만 모델의 입력 및 출력에 확률 적 특성을 적용하여 이해하기 쉽게 만들 수 있습니다. 예측 변수에 영향을 미치는 다양한 위험과 요인을 결정하는 데 매우 유용하므로보다 정확한 예측으로 이어질 수 있습니다. 또한 시행 횟수가 너무 작아서 모델을 시뮬레이션하기에 충분하지 않아 값의 군집이 발생하지 않아야합니다.

차례:

몬테 카를로 시뮬레이션으로 더 똑똑하게 내기

정의

기본 특성

MCS에서 자주 사용되는 확률 분포

MCS 배후의 수학

감도 차트

결론

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