이항 분포의 기초

이름으로 이항 분포를 모르고 고급 대학 통계 수업을 수강하지 않은 경우에도 선천적으로 이해합니다. 정말 그렇습니다. 불연속 사건이 발생하거나 발생하지 않을 확률을 평가하는 방법입니다. 그리고 금융 분야에도 많은 응용 프로그램이 있습니다. 작동 방식은 다음과 같습니다.

동전 던지기, 자유 투, 룰렛 휠 스핀 등 무엇이든 시도해보십시오. 유일한 자격은 문제가되는 것이 정확히 두 가지 가능한 결과를 가져야한다는 것입니다. 성공 또는 실패입니다. (예, 룰렛 휠은 38 개의 가능한 결과를 가지고 있습니다. 그러나 베터의 입장에서는 두 개만 있습니다. 당신은이기거나 잃을 것입니다.)

우리는 동전 던지기 헤드의 정확하고 불변의 50 % 확률보다 조금 더 흥미 롭기 때문에 자유 투를 사용합니다. 작년에 자유투의 89.9 %를 기록한 Dallas Mavericks의 Dirk Nowitzki라고 가정 해보십시오. 우리는 그것을 목적으로 90 %라고 부를 것입니다. 만약 당신이 지금 그를 라인에 넣었다면, 그가 10 명 중 9 명을 칠 가능성은 얼마입니까?

아니요, 100 %가 아닙니다. 90 %도 아닙니다.

그들은 74 %입니다, 믿거 나 말거나. 공식은 다음과 같습니다. 우리는 모두 성인이며 지수와 그리스 문자를 두려워 할 필요가 없습니다.

n 은 시도 횟수입니다. 이 경우 10입니다.

i 는 9 또는 10의 성공 횟수입니다. 각각에 대한 확률을 계산 한 다음 더합니다.

p 는 각 개별 이벤트의 성공 확률이며,.9입니다.

목표에 도달 할 확률, 즉 성공과 실패의 이항 분포는 다음과 같습니다.

의 $\begin{matrix} \sum_{나는 = 0}^{케이} (\begin{matrix} 엔 \\ 나는 \end{matrix}) 피^{나는} (1 - 피)^{엔 - 나는} \end{matrix} \ begin {aligned} & \ sum ^ k_ {i = 0} left ( begin {matrix} n \\ i \ end {matrix} right) p ^ i (1-p) ^ {ni} end { 정렬}$ i = 0∑k (ni) pi (1−p) n−i

해당 표현식의 용어가 더 세분화되어야하는 경우 수정 수학 표기법:

의 $\begin{matrix} (\begin{matrix} 엔 \\ 나는 \end{matrix}) = \frac{엔!}{(엔 - 나는)! 나는!} \end{matrix} \ begin {aligned} & \ left ( begin {matrix} n \\ i \ end {matrix} right) = \ frac {n!} {(ni)! i!} end {aligned}$ ((ni)) = (n−i)! i! n!

그것은 이항 분포에서 "이항식"입니다. 즉, 두 항입니다. 우리는 성공의 횟수뿐만 아니라 시도의 횟수뿐만 아니라 두 가지 모두에 관심이 있습니다. 각각 다른 사람 없이는 우리에게 쓸모가 없습니다.

더 많은 수리 수학 표기법:! 계승: 양의 정수에 모든 작은 양의 정수를 곱합니다. 예를 들어

의 $5! = 5 \times 4 \times 삼 \times 2 5! = 5 \ \ times \ 4 \ \ times \ 3 \ times \ 2$ 5! = 5 × 4 × 3 × 2

숫자를 꽂으십시오. 우리는 10 번의 자유투 10 개 중 10 개와 10 개 중 10 개 모두를 풀어야한다는 것을 기억하십시오.

의 $(\frac{10!}{9! 1!} \times . 9^{. 9} \times . 1^{. 1}) + (\frac{10!}{10!} \times . 9^{1} \times . 1^{0}) \ left ( frac {10!} {9! 1!} times.9 ^ {. 9} times.1 ^ {. 1} right) + \ left ( frac {10!} {10!} times.9 ^ 1 \ times.1 ^ 0 \ 오른쪽)$ (9! 1! 10! ×.9.9 ×.1.1) + (10! 10! ×.91 ×.10)

= 0.387420489 (9 개를 칠 가능성) + 0.3486784401 (10 개를 모두 칠 가능성)

= 0.736098929

이것은 단순한 확률 분포와 달리 누적 분포입니다. 누적 분포는 여러 확률 분포의 합입니다 (이 경우 두 개임). 누적 분포는 단일 자유도가 아닌 10 개의 자유 투구 중 9 개 또는 10 개 범위의 값에 도달 할 가능성을 계산합니다. 값. 우리가 노비츠키가 10 점 만점에 9 점을 낼 가능성이 무엇인지 물을 때, 우리는“정확하게 9 점 10 점”이 아니라“10 점 중 9 점 이상”을 의미한다는 것을 이해해야합니다.

이것이 금융과 어떤 관련이 있습니까? 생각보다 더 많은 것. 소수의 소수 자릿수 내에서 특정 차용인의 채무 불이행 가능성을 알고있는 은행, 대출 기관이라고 가정 해 보겠습니다. 많은 차용인이 채무 불이행으로 인해 은행이 파산하지 않을 가능성은 무엇입니까? 누적 이항 분포 함수를 사용하여 그 수를 계산하면 보험료를 책정하는 방법과 궁극적으로 대출 할 금액과 보유 할 금액을 더 잘 알 수 있습니다.

옵션의 초기 가격이 어떻게 결정되는지 궁금한 적이 있습니까? 같은 것입니다. 변동이 심한 기초 주식이 특정 가격에 도달 할 가능성이있는 경우, 옵션을 판매해야하는 가격을 결정하기 위해 일련의 n 기간 동안 주식이 어떻게 이동하는지 확인할 수 있습니다. (고급 거래 기술에 대한 준비가 되셨습니까? 기술 지표 사용 전략에 대한 Investopedia의 기사를 확인하십시오.)

이항 분포 함수를 재무에 적용하면 완전히 반 직관적 인 결과는 아니지만 놀라운 결과를 얻을 수 있습니다. 90 %의 자유투 사수가 자유투의 90 %를 치는 확률이 90 % 미만인 것과 같습니다. 20 %의 손실만큼 20 %의 이득을 얻을 수있는 보안이 있다고 가정하십시오. 유가 증권의 가격이 20 % 하락한다면 초기 수준으로 반등 할 가능성은 무엇입니까? 20 %의 단순한 해당 이익은 그것을 삭감하지 않을 것임을 기억하십시오: 20 % 하락한 다음 20 % 상승한 주식은 여전히 4 % 하락할 것입니다. 20 % 하락과 이익을 번갈아 가며 결국 주식은 가치가 없습니다.

결론

이항 분포를 파악한 분석가는 가격 결정, 위험 평가 및 불충분 한 준비로 인해 발생할 수있는 불쾌한 결과를 피할 수있는 추가적인 품질 도구를 보유하고 있습니다. 이항 분포와 종종 놀라운 결과를 이해하면 대중보다 훨씬 앞서있을 것입니다.

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