지수 가중 이동 평균 탐색

휘발성은 가장 일반적인 위험 측정 방법이지만 몇 가지 맛이 있습니다. 이전 기사에서는 간단한 역사적 변동성을 계산하는 방법을 보여주었습니다. 간단한 변동성을 개선하고 지수 가중 이동 평균 (EWMA)에 대해 논의 할 것입니다.

역사적 대 묵시적 변동성

먼저이 측정 항목을 약간의 관점에서 살펴 보겠습니다. 역사적 및 묵시적 (또는 내재적) 변동성의 두 가지 접근 방식이 있습니다. 역사적 접근법은 과거가 프롤로그라고 가정한다. 우리는 예측이되기를 희망하여 역사를 측정합니다. 반면에 내재 된 변동성은 역사를 무시합니다. 시장 가격에 내포 된 변동성을 해결합니다. 시장이 가장 잘 알고 있고 시장 가격에 내재적으로도 변동성에 대한 합의 된 추정치가 포함되기를 희망합니다.

위의 세 가지 역사적 접근 방식에만 초점을 맞추면 두 가지 공통 단계가 있습니다.

일련의 정기 수익률 계산 가중치 체계 적용

먼저 주기적 수익률을 계산합니다. 이는 일반적으로 각 수익이 지속적으로 복합적인 용어로 표현되는 일련의 일일 수익입니다. 매일 우리는 주가 비율 (즉, 오늘 가격을 어제 가격으로 나눈 값 등)의 자연 로그를 가져옵니다.

의 $\begin{matrix} 유_{나는} = 엘 엔 \frac{{에스}_{나는}}{{에스}_{나는 - 1}} \\ 어디: \\ 유_{나는} = 당일에 돌아오다 나는 \\ {에스}_{나는} = 당일 주가 나는 \\ {에스}_{나는 - 1} = 전날 주가 나는 \end{matrix} \ begin {aligned} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i-1}} \ & \ textbf {where:} \ & u_i = \ text {당일 반환} i \\ & s_i = \ text {stock 전날의 가격} i \\ & s_ {i-1} = \ text {전날의 주가} i \\ \ end {aligned}$ ui = lnsi-1si 여기서: ui = 일 반환 isi = 일의 주가 isi-1 = 전날의 주가 i

이렇게하면 측정하는 일 수 (m = 일)에 따라 u _i 에서 u _im 까지 일련의 일일 수익이 발생합니다.

이것이 우리를 두 번째 단계로 안내합니다. 세 가지 접근 방식이 다른 곳입니다. 이전 기사에서 우리는 몇 가지 허용 가능한 단순화에서 단순 분산이 제곱 된 수익의 평균이라는 것을 보여주었습니다.

의 $\begin{matrix} 변화 = σ_{엔}^{2} = \frac{1}{미디엄} Σ_{나는 = 1}^{미디엄} 유_{엔 - 1}^{2} \\ 어디: \\ 미디엄 = 측정 일수 \\ 엔 = 일 나는 \\ 유 = 평균 수익률과 수익률 차이 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n-1} \ & \ textbf {여기: } \ & m = \ text {측정 된 일 수} \ & n = \ text {day} i \\ & u = \ text {평균 수익률과의 수익 차이} \ \ end {aligned}$ 분산 = σn2 = m1Σi = 1mun--12 여기서: m = 측정 일수 n = dayiu = 평균 수익률과의 차이

이것은 각주기적인 수익을 합한 다음 그 총계를 일 수 또는 관측치 (m)로 나눈다는 점에 유의하십시오. 따라서, 그것은 실제로 제곱 된주기적인 수익의 평균입니다. 다시 말해, 각 제곱 반품에는 동일한 가중치가 부여됩니다. 따라서 알파 (a)가 가중치 요소 (특히, a = 1 / m)이면 간단한 분산은 다음과 같습니다.

간단한 분산으로 EWMA 향상

이 접근법의 약점은 모든 수익이 동일한 가중치를 얻는다는 것입니다. 어제의 (가장 최근의) 수익은 지난 달의 수익보다 차이에 더 이상 영향을 미치지 않습니다. 이 문제는 지수 가중 이동 평균 (EWMA)을 사용하여 해결되며, 최근 수익이 분산에 더 큰 가중치를 부여합니다.

지수 가중 이동 평균 (EWMA)은 람다를 도입하는데, 이를 평활화 매개 변수라고합니다. Lambda는 1보다 작아야합니다. 이 조건에서 동일한 가중치 대신 각 제곱 리턴에 다음과 같이 승수를 가중치로 적용합니다.

예를 들어, 재무 위험 관리 회사 인 RiskMetrics ^TM 는 0.94 또는 94 %의 람다를 사용하는 경향이 있습니다. 이 경우 첫 번째 (가장 최근의) 제곱주기 수익에 (1-0.94) (. 94) ⁰ = 6 %가 가중됩니다. 다음 제곱 수익률은 단순히 이전 가중치의 λ 배입니다. 이 경우 6 %에 94 % = 5.64 %를 곱한 값입니다. 그리고 세 번째 전날의 무게는 (1-0.94) (0.94) ² = 5.30 %와 같습니다.

이것이 EWMA에서 "지수"의 의미입니다. 각 가중치는 전날 가중치의 상수 곱셈기입니다 (즉, 1보다 작아야하는 람다). 이를 통해 최신 데이터에 가중되거나 편향되는 분산이 보장됩니다. Google의 변동성과 EWMA의 차이점은 다음과 같습니다.

단순 변동성은 열 O에 표시된 것처럼 각주기적인 수익률을 0.196 % 씩 효과적으로 측정합니다 (일일 주가 데이터는 2 년입니다. 즉 509 일 수익률과 1/509 = 0.196 %). 그러나 P 열의 가중치는 6 %, 5.64 %, 5.3 % 등입니다. 이것이 단순한 분산과 EWMA의 유일한 차이점입니다.

우리가 전체 계열 (Q 열)을 합한 후 표준 편차의 제곱 인 분산이 있습니다. 우리가 변동성을 원한다면 그 차이의 제곱근을 기억해야합니다.

Google의 경우 분산과 EWMA의 일일 변동성의 차이는 무엇입니까? 중요: 단순 분산으로 인해 일일 변동성이 2.4 % 였지만 EWMA는 일일 변동성이 1.4 %에 불과했습니다 (세부 사항은 스프레드 시트 참조). 분명히 구글의 변동성은 더 최근에 해결되었다. 따라서 단순한 분산이 인위적으로 높을 수 있습니다.

오늘의 변화는 전날의 변화의 함수입니다

기하 급수적으로 감소하는 일련의 가중치를 계산해야한다는 것을 알 수 있습니다. 우리는 여기서 수학을하지는 않지만 EWMA의 가장 큰 특징 중 하나는 전체 시리즈가 재귀 수식으로 편리하게 축소된다는 것입니다.

의 $\begin{matrix} σ_{엔}^{2} (이자형 승 미디엄 ㅏ) = λ σ_{엔}^{2} + (1 - λ) 유_{엔 - 1}^{2} \\ 어디: \\ λ = 가중 감소 정도 \\ σ^{2} = 기간의 가치 엔 \\ 유^{2} = 기간의 EWMA 가치 엔 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1-\ lambda) u ^ 2_ {n-1} \ & \ textbf {where:} \ & \ lambda = \ text {가중 감소 정도} \ & \ sigma ^ 2 = \ text {기간의 값} n \\ & u ^ 2 = \ text {기간의 EWMA 값} n \\ \ end {정렬}$ σn2 (ewma) = λσn2 + (1−λ) un−12 여기서: λ = 가중치 감소 σ2 = 시구 간에서의 값 nu2 = 시구 간에서의 EWMA의 값 n

재귀는 오늘의 분산 참조 (즉, 전날 분산의 함수 임)를 의미합니다. 스프레드 시트에서도이 공식을 찾을 수 있으며, 장기 계산과 동일한 결과를 얻을 수 있습니다! 오늘의 차이 (EWMA 하에서)는 어제의 차이 (가중에 의해 가중 됨)에 어제 제곱 반환 (1에서 λ의 무게)을 더한 것과 같습니다. 어제의 가중 분산과 어제의 가중 제곱 수익이라는 두 용어를 어떻게 더하는지 살펴보십시오.

그럼에도 불구하고 람다는 스무딩 매개 변수입니다. 람다가 높을수록 (예: RiskMetric의 94 %) 계열에서 감소가 느리다는 것을 나타냅니다. 상대적으로 볼 때 시리즈에 더 많은 데이터 포인트가 있고 더 느리게 "떨어질"것입니다. 반면에 람다를 줄이면 더 높은 붕괴를 나타냅니다. 무게가 더 빨리 떨어지고 빠른 붕괴의 직접적인 결과로 더 적은 데이터 포인트가 사용됩니다. 스프레드 시트에서 람다는 입력이므로 감도를 실험 해 볼 수 있습니다.

요약

변동성은 주식의 가장 빠른 표준 편차와 가장 일반적인 위험 지표입니다. 또한 분산의 제곱근이기도합니다. 과거 또는 내재적으로 변동을 측정 할 수 있습니다 (내재 변동성). 역사적으로 측정 할 때 가장 쉬운 방법은 간단한 분산입니다. 그러나 단순한 분산으로 인한 약점은 모든 수익이 동일한 가중치를 얻는다는 것입니다. 따라서 우리는 고전적인 트레이드 오프에 직면합니다. 우리는 항상 더 많은 데이터를 원하지만 더 많은 데이터를 가질수록 계산은 더 먼 (관련성이없는) 데이터로 희석됩니다. 지수 가중 이동 평균 (EWMA)은주기적인 수익률에 가중치를 할당하여 단순 분산에서 향상됩니다. 이렇게하면 큰 표본 크기를 사용할 수 있지만 최근 수익에 더 큰 가중치를 줄 수 있습니다.

차례:

지수 가중 이동 평균 탐색

역사적 대 묵시적 변동성

오늘의 변화는 전날의 변화의 함수입니다

요약

편집자의 선택