금융계에서 Black-Scholes 및 이항 옵션 평가 모델은 현대 금융 이론에서 가장 중요한 개념 중 두 가지입니다. 둘 다 옵션의 가치를 평가하는 데 사용되며 각각 고유의 장단점이 있습니다.
이항 모형을 사용할 때의 몇 가지 기본 장점은 다음과 같습니다.
- 다중 기간보기 투명도 확률 통합 기능
Black-Scholes 모델 대신 이항 모델을 사용하는 이점을 살펴보고 모델을 개발하고 사용 방법을 설명하는 몇 가지 기본 단계를 제공합니다.
여러 기간보기
이항 모델은 옵션 가격뿐만 아니라 기본 자산 가격의 다중 기간보기를 제공합니다. 입력을 기반으로 수치 결과를 제공하는 Black-Scholes 모델과 달리 이항 모델을 사용하면 각 기간에 대해 가능한 결과 범위와 함께 여러 기간에 대한 자산 및 옵션을 계산할 수 있습니다 (아래 참조).
이 다중 기간보기의 장점은 사용자가 자산 가격의 변화를 기간별로 시각화하고 다양한 시점에서 내려진 결정에 따라 옵션을 평가할 수 있다는 것입니다. 만료 날짜 이전에 언제라도 행사할 수있는 미국 기반 옵션의 경우 이항 모델은 옵션을 행사하는 것이 바람직 할 수있는시기와 장기간 개최해야하는 시점에 대한 통찰력을 제공 할 수 있습니다. 이항 값 트리를 살펴보면 거래자는 언제 결정이 내려 질 수 있는지 미리 결정할 수 있습니다. 옵션에 양수 값이 있으면 운동 가능성이 있지만 옵션에 0보다 작은 값이 있으면 더 오랫동안 유지해야합니다.
투명도
다중 기간 검토와 밀접한 관련이있는 이항 모델은 자산의 기본 가치와 시간 경과에 따른 옵션에 투명성을 제공 할 수있는 능력입니다. Black-Scholes 모델에는 5 개의 입력이 있습니다.
- 무위험 금리 행사 가격 자산의 현재 가격 만기까지의 시간 자산 가격의 내재 변동성
이러한 데이터 요소가 Black-Scholes 모델에 입력되면 모델은 옵션에 대한 값을 계산하지만 이러한 요소의 영향은 기간별로 표시되지 않습니다. 이항 모델을 사용하면 거래자는 기본 자산 가격의 기간 및 기간에 따른 변화와 옵션 가격의 변화를 볼 수 있습니다.
확률을 통합
이항 옵션 모델을 계산하는 기본 방법은 옵션이 만료 될 때까지 각 기간마다 성공 및 실패에 대해 동일한 확률을 사용하는 것입니다. 그러나 거래자는 시간이 지남에 따라 얻은 새로운 정보를 기반으로 각 기간마다 다른 확률을 통합 할 수 있습니다.
예를 들어, 기본 자산 가격이 한 기간 동안 30 % 증가 또는 감소 할 수있는 50/50 확률이있을 수 있습니다. 그러나 두 번째 기간 동안 기초 자산 가격이 상승 할 확률은 70/30으로 증가 할 수 있습니다. 예를 들어, 투자자가 유정을 평가하는 경우 해당 유가의 가치가 무엇인지 확실하지 않지만 가격이 상승 할 확률은 50/50입니다. 기간 1에서 유가가 상승하여 유가의 가치가 높아지고 시장 펀더멘탈이 유가의 지속적인 상승을 가리키고 있다면, 가격에 대한 추가 평가 가능성은 이제 70 % 일 것입니다. 이항 모형은 이러한 유연성을 허용합니다. Black-Scholes 모델은 그렇지 않습니다.
모델 개발
가장 간단한 이항 모형에는 확률이 최대 100 % 인 두 개의 예상 수익이 있습니다. 이 예에서는 각 시점에서 유정에 대해 가능한 두 가지 결과가 있습니다. 더 복잡한 버전은 3 가지 이상의 다른 결과를 가질 수 있으며 각 결과는 발생 가능성이 주어집니다.
시간 제로 (현재)부터 시작하여 기간 당 수익을 계산하려면 지금부터 한 기간 동안 기본 자산의 가치를 결정해야합니다. 이 예에서는 다음을 가정합니다.
- 기초 자산의 가격 (P): $ 500 통화 옵션 행사 가격 (K): $ 600 해당 기간 동안 위험이없는 비율: 1 % 각 기간마다 가격 변경: 30 % 증가 또는 감소
기초 자산의 가격은 $ 500이며 기간 1에서는 $ 650 또는 $ 350가 될 수 있습니다. 이는 한 기간에 30 % 증가 또는 감소하는 것과 같습니다. 보유하고있는 통화 옵션의 행사 가격은 $ 600이므로 기본 자산이 $ 600 미만이면 통화 옵션의 값은 0이됩니다. 반면, 기초 자산이 $ 600의 행사 가격을 초과 할 경우, 통화 옵션의 가치는 기초 자산의 가격과 행사 가격의 차이가됩니다. 이 계산의 공식은입니다.
의 maxwhere: P = 기본 자산 가격 K = 통화 옵션 행사 가격
50 %의 상승 가능성과 50 %의 하락 확률이 있다고 가정하십시오. 예를 들어 기간 1 값을 사용하면 다음과 같이 계산됩니다.
의 max ** 0.5 + max ∗ 0.5 = $ 50 ∗ 0.5 + $ 0 = $ 25
통화 옵션의 현재 가치를 얻으려면 기간 1의 $ 25를 기간 0으로 다시 할인해야합니다.
의 $ 25 / (1 + 1 %) = $ 24.75
확률이 변경되면 기초 자산의 예상 가치도 변경됨을 알 수 있습니다. 확률이 변경되어야하는 경우, 각 후속 기간에 대해서도 변경 될 수 있으며 전체적으로 동일하게 유지 될 필요는 없습니다.
이항 모델은 여러 기간으로 쉽게 확장 할 수 있습니다. Black-Scholes 모델은 연장 된 만료 날짜의 결과를 계산할 수 있지만 이항 모델은 결정 지점을 여러 기간으로 확장합니다.
이항 모형의 용도
옵션의 가치를 계산하는 방법으로 사용하는 것 외에도 이항 모델은 높은 불확실성, 자본 예산 및 자원 할당 결정이있는 프로젝트 또는 투자 및 여러 기간 또는 특정 시점에 프로젝트를 계속하거나 포기하는 내장 옵션.
간단한 예가 석유 시추를 수반하는 프로젝트입니다. 이 유형의 프로젝트의 불확실성은 시추중인 토지에 오일이 있는지, 시추 될 수있는 오일의 양, 오일이 발견 된 경우, 오일이 추출 된 후 판매 될 수있는 가격이 있는지 여부입니다.
이항 옵션 모델은 석유 시추 프로젝트의 각 지점에서 의사 결정을 도울 수 있습니다. 예를 들어, 드릴하기로 결정했지만 유정은 충분한 유를 발견하고 유가가 특정 금액을 초과하는 경우에만 수익성이 있습니다. 추출 할 수있는 오일의 양과 해당 시점의 오일 가격을 결정하려면 전체 기간이 한 번 걸립니다. 첫 번째 기간 (예: 1 년)이 지나면이 두 가지 데이터 요소를 기반으로 프로젝트를 계속 진행할 것인지 포기할 것인지 결정할 수 있습니다. 이러한 결정은 시추 할 가치가없는 지점에 도달 할 때까지 지속적으로 내려 질 수 있으며, 이때 유정은 폐기됩니다.
결론
이항 모델은 기본 기간의 자산 가격과 여러 기간의 옵션 가격 및 각 기간의 가능한 결과 범위에 대한 다중 기간보기를 허용하여보다 자세한보기를 제공합니다. Black-Scholes 모델과 이항 모델을 모두 사용하여 옵션을 평가할 수 있지만 이항 모델은 더 넓은 범위의 응용 프로그램을 가지며보다 직관적이며 사용하기 더 쉽습니다.
