귀중한 옵션은 까다로운 사업이 될 수 있습니다. 다음 시나리오를 고려하십시오. 2015 년 1 월, IBM 주식은 $ 155로 거래되었으며 향후 1 년 내에 상승 할 것으로 예상했습니다. ATM 주식 가격이 155 달러 인 IBM 주식에 대한 콜 옵션을 구매하려고합니다. 높은 구매 가격의 주식 구매와 비교하여 적은 옵션 비용 (옵션 프리미엄)을 기준으로 높은 비율의 수익을 기대할 수 있습니다.
IBM에서이 통화 옵션의 적정 가치는 무엇입니까?
현재 Black-Scholes 모델 및 이항 트리 모델을 포함하여 옵션에 가치를 부여하기 위해 몇 가지 다른 기성품 방법을 사용하여 빠른 답변을 제공 할 수 있습니다. 그러나 이러한 평가 모델에 도달하기위한 기본 요소와 추진 개념은 무엇입니까? 이 모델의 개념에 따라 비슷한 것을 준비 할 수 있습니까?
여기서는 빌딩 블록, 기본 개념 및 옵션과 같은 자산에 대한 평가 모델을 구축하기위한 프레임 워크로 사용할 수있는 요소를 다루며 Black-Scholes (BS)의 원점과 나란히 비교합니다.) 모델.
흑인 학교 전 세계
Black-Scholes 이전에는 균형 기반 자본 자산 가격 책정 모델 (CAPM)이 널리 준수되었습니다. 투자자의 선호도에 따라 수익과 위험은 서로 균형을 이뤘습니다. 즉, 높은 위험 부담 투자자는 비슷한 비율로 높은 수익을 보상받을 것으로 예상되었습니다.
BS 모델은 CAPM에서 근본을 찾습니다. Fisher Black에 따르면, “저는 가능한 모든 주가와 보증가에 대해 영장의 모든 순간에 자본 자산 가격 책정 모델을 적용했습니다.”CAPM은 영장 (옵션) 가격 요구 사항을 충족시킬 수 없었습니다.
Black-Scholes는 차익 거래의 개념을 기반으로 첫 번째 모델로 유지되어 위험 기반 모델 (예: CAPM)에서 패러다임 전환을 수행합니다. 이 새로운 BS 모델 개발은 CAPM 주식 수익 개념을 완전히 헤지 된 포지션이 무위험 금리를 얻게된다는 사실을 인식하는 것으로 대체했습니다. 이를 통해 위험 및 수익 변동이 발생하고 위험 중립 개념을 가정하여 평가가 수행되는 차익 거래 개념이 확립되었습니다. 위험이없는 (위험이없는) 포지션은 무위험 수익률로 이어져야합니다.
흑인 학교의 발달
문제를 설정하고, 수량화하고, 솔루션을위한 프레임 워크를 개발하는 것으로 시작하겠습니다. 우리는 1 년 만기 시가로 $ 155의 행사가로 IBM에서 ATM 콜 옵션을 평가하는 예를 계속합니다.
콜 옵션의 기본 정의에 따라 주가가 행사 가격 수준에 도달하지 않는 한 지불액은 0으로 유지됩니다. 그 레벨 이후에, 보수는 선형 적으로 증가합니다 (즉, 기초가 1 달러 증가하면 통화 옵션으로부터 1 달러가 지급됩니다).
구매자와 판매자가 공정 가치 평가 (제로 가격 포함)에 동의하면이 통화 옵션의 이론적 공정가는 다음과 같습니다.
- 기본 <파업 (빨간색 그래프) 인 경우 통화 옵션 가격 = $ 0, 기본> 파업 (파란색 그래프 인 경우)
이것은 옵션의 본질적 가치를 나타내며 콜 옵션 구매자의 관점에서 완벽하게 보입니다. 적색 지역에서는 구매자와 판매자 모두 공정한 평가를받습니다 (판매자에 대한 가격 제로, 구매자에 대한 지불금 없음). 그러나 밸류에이션 챌린지는 파란색 지역에서 시작합니다. 구매자는 긍정적 인 대가를 누리지 만 판매자는 손실을 입습니다 (기본 가격이 행사가보다 높을 경우). 구매자가 가격이 0 인 판매자보다 이점이있는 곳입니다. 판매자가 위험을 감수하려면 가격이 0이 아니어야합니다.
전자의 경우 (빨간색 그래프), 이론적으로 판매자는 제로 가격을 받고 구매자에 대한 지불 가능성은 없습니다 (둘 다에 공평). 후자의 경우 (파란색 그래프), 파업과 파업의 차이는 판매자가 구매자에게 지불합니다. 판매자의 위험은 1 년 동안 지속됩니다. 예를 들어, 기본 주가는 4 개월 동안 200 달러로 매우 높아질 수 있으며 판매자는 구매자에게 45 달러의 차액을 지불해야합니다.
따라서 다음과 같이 요약됩니다.
- 기초가의 가격이 행사가와 교차 할 것인가? 그렇다면 기본 가격이 얼마나 올라갈 수 있는가?
이것은 판매자가 취한 큰 위험을 나타내며, 이로 인해 누군가가 그러한 위험에 대해 아무것도 얻지 못하면 왜 그러한 전화를 판매합니까?
우리의 목표는 판매자가 구매자에게 청구해야하는 단일 가격에 도달하는 것입니다. 이는 구매자가 1 년 동안 겪고있는 전체 위험 (제로 결제 지역 (빨간색)과 선형 결제 지역 (파란색) 모두에 대해 보상 할 수 있음). 가격은 구매자와 판매자 모두에게 공정하고 수용 가능해야합니다. 그렇지 않다면 불공정 한 가격을 지불하거나받는 측면에서 불리한 사람은 시장에 참여하지 않으므로 거래 사업의 목적을 상실하게됩니다. Black-Scholes 모델은 주식의 일정한 가격 변동, 화폐의 시간 가치, 옵션 행사가 및 옵션 만기까지의 시간을 고려하여이 공정한 가격을 설정하는 것을 목표로합니다. BS 모델과 유사하게, 우리 자신의 방법을 사용하여 예제를 평가하기 위해 어떻게 접근 할 수 있는지 보자.
청색 지역에서 내재 가치를 평가하는 방법?
주어진 기간 동안 미래에 예상 가격 변동을 예측하기위한 몇 가지 방법이 있습니다.
- 최근에 같은 기간 동안 비슷한 가격 변동을 분석 할 수 있습니다. 과거 IBM 마감 가격은 지난 1 년 (2014 년 1 월 2 일부터 2014 년 12 월 31 일까지)에 13.5 % 하락한 185.53 달러에서 160.44 달러로 하락했음을 나타냅니다. IBM의 가격이 -13.5 % 상승했다고 결론을 내릴 수 있습니까? 자세한 사항을 확인하면 연간 최고 $ 199.21 (2014 년 4 월 10 일)과 연간 최저 $ 150.5 (2014 년 12 월 16 일)에 닿았습니다. 2014 년 1 월 2 일 시작일과 종가 185.53 달러를 기준으로 변동률이 + 7.37 %에서 -18.88 %로 다양합니다. 이제 변동 범위는 이전에 계산 된 13.5 % 감소에 비해 훨씬 넓어 보입니다.
과거 데이터에 대한 유사한 분석 및 관찰이 수행 될 수 있습니다. 가격 책정 모델 개발을 계속하기 위해이 간단한 방법론이 향후 가격 변동을 측정한다고 가정 해 봅시다.
IBM이 매년 10 % 씩 증가한다고 가정합니다 (지난 20 년의 과거 데이터를 기준으로 함). 기본 통계에 따르면 역사적 패턴이 반복된다고 가정 할 때 IBM 주가 변동률이 + 10 % 정도일 확률은 IBM 가격이 20 % 상승하거나 30 % 감소 할 확률보다 훨씬 높을 것입니다. 확률 값을 사용하여 유사한 히스토리 데이터 포인트를 수집하여 1 년 기간의 IBM 주가에 대한 전체 예상 수익은 가중 평균 확률 및 관련 수익으로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, IBM의 과거 가격 데이터가 다음 이동을 표시한다고 가정하십시오.
- 25 %의 시간에서 (-10 %), 35 %의 시간에서 + 10 %, 20 %의 시간에서 + 15 %, + 20 % 10 %의 시간에서, 5 %의 시간에서 + 25 % 및 5 %의 시간에서 (-15 %).
따라서 가중 평균 (또는 예상 값)은 다음과 같습니다.
(-10 % * 25 % + 10 % * 35 % + 15 % * 20 % + 20 % * 10 % + 25 % * 5 % – 15 % * 5 %) / 100 % = 6.5 %
즉, 평균적으로 IBM 주식의 가격은 1 달러마다 1 달러마다 + 6.5 %를 반환 할 것으로 예상됩니다. 누군가 1 년의 지평과 $ 155의 구매 가격으로 IBM 주식을 구매하는 경우 155 * 6.5 % = $ 10.075의 순수익을 기대할 수 있습니다.
그러나 이것은 재고 반환을위한 것입니다. 통화 옵션에 대해 비슷한 예상 수익을 찾아야합니다.
행사 가격 ($ 155 – ATM 통화) 이하의 콜 제로 지불에 기초하여, 모든 마이너스 이동은 제로 지불을 생성하는 반면, 행사 가격 이상의 모든 긍정적 이동은 동등한 지불을 생성합니다. 통화 옵션에 대한 예상 반품은 다음과 같습니다.
(-0 % * 25 % + 10 % * 35 % + 15 % * 20 % + 20 % * 10 % + 25 % * 5 % — 0 % * 5 %) / 100 % = 9.75 %
즉, 이 옵션을 구매하는 데 100 달러를 투자 할 때마다 위의 가정에 따라 $ 9.75를 기대할 수 있습니다.
그러나 이는 여전히 내재적 옵션의 공정 가치 평가에 국한되어 있으며 중간에 발생할 수있는 높은 변동에 대해 옵션 매도자가 부담하는 위험을 정확하게 포착하지 못합니다 (위에서 언급 한 내년의 높고 낮은 경우) 물가). 내재 가치 외에 구매자와 판매자가 합의 할 수있는 가격으로 판매자가 1 년의 기간 동안의 위험을 상당히 보상 할 수 있습니까?
이러한 변동은 매우 다양 할 수 있으며 판매자는 보상을 받기 원하는 금액에 대한 자체 해석을 할 수 있습니다. Black-Scholes 모델은 유럽식 옵션을 가정합니다. 즉, 만료 날짜 이전에는 운동이 없습니다. 따라서, 이는 중간 가격 변동에 영향을받지 않고 엔드 투 엔드 거래일 기준으로 평가됩니다.
실제 거래에서이 변동성은 옵션 가격을 결정하는 데 중요한 역할을합니다. 우리가 흔히 볼 수있는 파란색 지불 기능은 실제로 만료일의 지불 기능입니다. 실제로 옵션 가격 (분홍색 그래프)은 상환액 (파란색 그래프)보다 항상 높으며 판매자가 위험 감수 능력을 보상하기 위해 취하는 가격을 나타냅니다. 이것이 옵션 가격을 옵션“프리미엄”이라고도하는 이유이며, 이는 본질적으로 리스크 프리미엄을 나타냅니다.
이는 주식 가격에 예상되는 변동성 및 생산량에 대한 예상 가치에 따라 평가 모델에 포함될 수 있습니다.
Black-Scholes 모델은 다음과 같이 효율적으로 (물론 자체 가정 내에서) 수행합니다.
의 C = S × N (d1) −X × e−rTN (d2)
BS 모델은 주가 변동의 로그 정규 분포를 가정하여 N (d1) 및 N (d2)의 사용을 정당화합니다.
- 첫 번째 부분에서 S는 주식의 현재 가격을 나타냅니다. N (d1)은 현재 주가 변동 확률을 나타냅니다.
구매자가이 옵션을 행사할 수 있도록이 옵션이 화폐에 들어가면 기본 IBM 주식 중 하나의 지분을 얻게됩니다. 거래자가 오늘 그것을 행사한다면, S * N (d1)은 옵션의 현재 예상 가치를 나타냅니다.
두 번째 부분에서 X는 행사가를 나타냅니다.
- N (d2)는 주가가 행사가보다 높을 확률을 나타내므로 X * N (d2)는 행사가보다 높은 주가의 예상 가치를 나타냅니다.
Black-Scholes 모델은 운동이 끝에서만 가능한 유럽식 옵션을 가정하므로 X * N (d2)로 표시된 예상 값은 시간 값으로 할인되어야합니다. 따라서 마지막 부분에 기간에 따른 이자율로 기하 급수적으로 곱한 값이 곱해집니다.
두 용어의 순차는 오늘 현재 옵션의 가격 값을 나타냅니다 (두 번째 용어는 할인 됨)
우리의 틀에서 이러한 가격 변동은 여러 가지 방법을 통해보다 정확하게 포함될 수 있습니다.
- 내일 / 내년 가격 변동을 포함하도록 범위를 더 미세한 간격으로 확장하여 예상 수익 계산의 추가 세분화 현재 시장 활동 포함 (현재의 변동성을 암시하는 변동성과 유사) 반영 일 만료 날짜의 예상 수익 현실적인 평가를 위해 현재로 다시 할인되고 현재 가치에서 추가로 감소
따라서 우리는 정량 분석을 위해 선택되는 가정, 방법론 및 사용자 정의에 제한이 없음을 알 수 있습니다. 거래 할 자산 또는 고려해야 할 투자에 따라 자체 개발 모델이 작동 할 수 있습니다. 다른 자산 군의 가격 변동의 변동성은 매우 다양하며, 주식의 변동성이 치우치고, 외환 변동성이 찌그러지고, 사용자는 해당 변동 패턴을 모델에 통합해야합니다. 가정과 단점은 모든 모델의 필수 요소이며 실제 거래 시나리오에서 지식을 갖춘 모델을 적용하면 더 나은 결과를 얻을 수 있습니다.
결론
복잡한 자산이 시장에 진입하거나 심지어 일반 바닐라 자산이 복잡한 형태의 거래로 들어감에 따라 정량적 모델링 및 분석이 필수 평가가되고 있습니다. 불행히도, 수학적 모델은 결점과 가정이 없이는 제공되지 않습니다. 최선의 방법은 가정을 최소로 유지하고 내재 된 단점을 인식하여 모델의 사용 및 적용 가능성에 대한 선을 그리는 데 도움을 줄 수 있습니다.
