선형 관계 정의

선형 관계 란 무엇입니까?

선형 관계 (또는 선형 연관)는 변수와 상수 사이의 직선 관계를 설명하는 데 사용되는 통계 용어입니다. 선형 관계는 변수와 상수가 직선을 통해 연결된 그래픽 형식 또는 독립 변수에 경사 계수를 곱한 상수 형식을 더한 종속 형식을 결정하는 수학 형식으로 표현할 수 있습니다.

선형 관계는 다항식 또는 비선형 (곡선) 관계와 대조 될 수 있습니다.

주요 테이크 아웃

선형 관계 (또는 선형 연관)는 변수와 상수 사이의 직선 관계를 설명하는 데 사용되는 통계 용어로, 선형 관계는 그래픽 형식 또는 y = mx + b 형식의 수학 방정식으로 표현할 수 있습니다.. 선형 관계는 일상 생활에서 상당히 일반적입니다.

선형 방정식은 다음과 같습니다.

수학적으로 선형 관계는 방정식을 만족시키는 관계입니다.

의 $\begin{matrix} 와이 = 미디엄 엑스 + 비 \\ 어디: \\ 미디엄 = 경사 \\ 비 = y 절편 \end{matrix} \ begin {aligned} & y = mx + b \\ & \ textbf {where:} \ & m = \ text {slope} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {aligned}$ y = mx + b 여기: m = slopeb = y 절편

이 방정식에서“x”및“y”는 매개 변수“m”및“b”와 관련된 두 변수입니다. xy 평면에서 y = mx + b는 기울기“m”과 y 절편“b”가있는 선으로 나타납니다. y 절편“b”는 x = 0 일 때“y”의 값입니다. 기울기 "m"은 두 개의 개별 점 (x ₁, y ₁) 및 (x ₂, y ₂)에서 다음과 같이 계산됩니다.

의 $미디엄 = \frac{({와이}_{2} - {와이}_{1})}{({엑스}_{2} - {엑스}_{1})} m = \ frac {(y_2-y_1)} {(x_2-x_1)}$ m = (x2−x1) (y2−y1)

선형 관계

선형 관계는 무엇을 알려줍니까?

방정식을 선형으로 규정하기 위해 방정식이 충족해야하는 세 가지 필수 기준이 있습니다. 선형 관계를 나타내는 방정식은 두 개 이상의 변수로 구성 될 수 없으며 방정식의 모든 변수는 첫 번째 거듭 제곱이어야합니다 방정식은 직선으로 그래프로 표시되어야합니다.

수학의 선형 함수는 가산 성과 동질성의 특성을 만족시키는 함수입니다. 선형 함수는 또한 중첩 원리를 준수하는데, 이는 둘 이상의 입력의 순 출력이 개별 입력의 출력 합계와 동일하다는 것을 나타냅니다. 일반적으로 사용되는 선형 관계는 하나의 변수가 선형 방식으로 다른 변수의 변경으로 어떻게 변경되는지를 설명하는 상관 관계입니다.

계량 경제학에서 선형 회귀는 다양한 현상을 설명하기 위해 선형 관계를 생성하는 데 자주 사용되는 방법입니다. 그러나 모든 관계가 선형 인 것은 아닙니다. 일부 데이터는 다항식 관계와 같이 구부러진 관계를 설명하지만 다른 데이터는 매개 변수화 할 수 없습니다.

선형 함수

선형 관계와 수학적으로 유사한 것은 선형 함수의 개념입니다. 하나의 변수에서 다음과 같이 선형 함수를 작성할 수 있습니다.

의 $\begin{matrix} 에프 (엑스) = 미디엄 엑스 + 비 \\ 어디: \\ 미디엄 = 경사 \\ 비 = y 절편 \end{matrix} \ begin {aligned} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {where:} \ & m = \ text {slope} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {aligned}$ f (x) = mx + b 여기: m = slopeb = y 절편

이것은 기호 f (x)가 y 대신 사용된다는 점을 제외하고는 선형 관계에 대해 주어진 공식과 동일합니다 . 이 대체는 x가 f (x)에 매핑된다는 의미를 강조하기 위해 만들어지는 반면, y 의 사용은 단순히 x와 y가 A와 B와 관련된 두 개의 양임을 나타냅니다.

선형 대수학 연구에서 선형 함수의 특성을 광범위하게 연구하고 엄격하게 만듭니다. 스칼라 C와 R ^N의 두 벡터 A와 B가 주어지면 선형 함수의 가장 일반적인 정의는 다음과 같습니다. $씨 \times 에프 (ㅏ + 비) = 씨 \times 에프 (ㅏ) + 씨 \times 에프 (비) c \ times f (A + B) = c \ times f (A) + c \ times f (B)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

선형 관계의 예

실시 예 1

선형 관계는 일상 생활에서 매우 일반적입니다. 예를 들어 속도의 개념을 보자. 속도를 계산하는 데 사용하는 공식은 다음과 같습니다. 속도는 시간에 따라 이동 한 거리입니다. 백인 2007 크라이슬러 타운과 컨트리 미니 밴을 타고 99 번 고속도로에서 41.3 마일을 뻗어 캘리포니아 새크라멘토와 메리 스빌 사이를 여행하는 경우 40 분이 소요되면 60mph 미만으로 여행하게됩니다.

이 방정식에는 두 개 이상의 변수가 있지만 변수 중 하나는 항상 상수 (거리)이기 때문에 여전히 선형 방정식입니다.

실시 예 2

선형 거리는 방정식 거리 = 속도 x 시간에서도 찾을 수 있습니다. 거리는 양수 (대부분의 경우)이므로 X와 Y 축이있는 그래프의 오른쪽 위 사분면에이 선형 관계가 표시됩니다.

2 인용 자전거가 20 시간 동안 시간당 30 마일의 속도로 주행하는 경우 라이더는 600 마일을 주행하게됩니다. Y 축의 거리와 X 축의 시간을 그래픽으로 나타내면 20 시간 이상의 거리를 추적하는 선이 X와 Y 축의 수렴에서 곧바로 이동합니다.

실시 예 3

섭씨를 화씨로 변환하거나 화씨를 섭씨로 변환하려면 아래 방정식을 사용합니다. 이 방정식은 그래프에서 선형 관계를 나타냅니다.

의 $° 씨 = \frac{5}{9} (° 에프 - 삼 2) \도 C = \ fra {{}} (도-32)$ ° C = 95 (° F−32)

의 $° 에프 = \frac{9}{5} (° 씨 + 삼 2) \도 F = \ fra {9} {5} (도 C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

실시 예 4

독립 변수는 주택의 크기 (제곱 푸티 지로 측정)가 207.65의 경사 계수를 곱한 다음 상수 항 $ 10, 500에 추가 될 때 주택의 시장 가격 (종속 변수)을 결정한다고 가정합니다.. 주택의 제곱 푸티지가 1, 250 인 경우 주택의 시장 가치는 (1, 250 x 207.65) + $ 10, 500 = $ 270, 062.50입니다. 그래픽 및 수학적으로 다음과 같이 나타납니다.

이 예에서 집의 크기가 증가함에 따라 집의 시장 가치는 선형으로 증가합니다.

두 개체 간의 일부 선형 관계를 "비례 상수"라고 할 수 있습니다. 이 관계는

의 $\begin{matrix} 와이 = 케이 \times 엑스 \\ 어디: \\ 케이 = 일정한 \\ 와이, 엑스 = 비례 수량 \end{matrix} \ begin {aligned} & Y = k \ times X \\ & \ textbf {where:} \ & k = \ text {constant} \ & Y, X = \ text {비례량} \ \ end {aligned}$ Y = k × X 여기서: k = 일정 Y, X = 비례 수량

행동 데이터를 분석 할 때 변수간에 완벽한 선형 관계는 거의 없습니다. 그러나 대략적인 선형 관계 버전을 형성하는 데이터에서 추세선을 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 아이스크림 판매량과 병원 방문 횟수를 그래프에서 두 가지 변수로보고 둘 사이의 선형 관계를 찾을 수 있습니다.

차례: