목차
- 정규 (벨 커브) 분포
- 위험과 수익
- 현대 포트폴리오 이론
- 빌딩 블록
- MPT의 빠른 예
- MPT 및 배포에 대한 과제
- 결론
정규 분포는 확률 평균 주위에 위치한 대부분의 결과와 함께 대칭 방식으로 모든 값을 플로팅하는 확률 분포입니다.
정규 (벨 커브) 분포
데이터 세트 (100 명의 사람의 키, 클래스에서 45 명의 학생이 획득 한 마크 등)는 동일한 데이터 포인트 또는 동일한 범위 내에서 많은 값을 갖는 경향이 있습니다. 이 데이터 포인트 분포를 정규 또는 종 곡선 분포라고합니다.
예를 들어, 100 명의 개인 그룹에서 10은 5 피트 미만, 65는 5 피트에서 5.5 피트 사이, 25는 5.5 피트 이상일 수 있습니다. 이 범위 바인딩 분포는 다음과 같이 그려 질 수 있습니다.
마찬가지로, 주어진 데이터 세트에 대해 그래프로 표시되는 데이터 포인트는 다른 유형의 분포와 유사 할 수 있습니다. 가장 일반적인 세 가지가 왼쪽 정렬, 오른쪽 정렬 및 뒤죽박죽 분포입니다.
각 그래프에서 빨간색 추세선을 확인하십시오. 이것은 대략 데이터 분포 추세를 나타냅니다. 첫 번째 "LEFT Aligned Distribution"은 대부분의 데이터 포인트가 낮은 범위에 속함을 나타냅니다. 두 번째 "오른쪽 정렬 분포"그래프에서 대부분의 데이터 포인트는 범위의 상위에 속하지만 마지막 "무질서 분포"는 명확한 추세가없는 혼합 데이터 세트를 나타냅니다.
데이터 포인트의 분포가 중심 값을 중심으로하는 경향이있는 경우가 많으며, 그래프는 중앙에 집중된 데이터 포인트 수가 가장 많은 양 측면에서 균등하게 균형을 이루는 완벽한 정규 분포를 보여줍니다.
완벽하게 정규 분포 된 데이터 세트는 다음과 같습니다.
여기서 중심 값은 50 (데이터 포인트가 가장 많음)이고 분포는 0과 100 (데이터 포인트 수가 가장 적은)의 극한 값으로 균일하게 테이퍼링됩니다. 정규 분포는 중앙 값을 중심으로 대칭이며 각면의 값은 절반입니다.
많은 실제 사례가 벨 커브 분포에 적합합니다.
- 공정한 동전을 여러 번 (100 번 이상) 던지면 머리와 꼬리의 균형 잡힌 정규 분포를 얻게됩니다. 숫자 7을 중심으로 분포하고 2와 12의 극한 값으로 균일하게 테이퍼됩니다. 계급의 사람들이 얻은 상당한 크기와 마크 그룹의 개인의 키는 정상적인 분포 패턴을 따릅니다. 로그 값 외환 환율, 물가 지수 및 주가는 정규 분포로 가정합니다.
위험과 수익
모든 투자에는 위험과 수익이라는 두 가지 측면이 있습니다. 투자자들은 가능한 가장 높은 수익률에 대한 가장 낮은 위험을 찾습니다. 정규 분포는 수익에 대한 평균과 위험에 대한 표준 편차로이 두 가지 측면을 정량화합니다. (자세한 내용은 "평균 편차 분석"을 참조하십시오.)
평균 또는 기대 값
주가의 특정 평균 변동은 매일 1.5 %가 될 수 있습니다. 즉, 평균 1.5 % 증가합니다. 이 평균 값 또는 기대 값은 수익의 과거 일일 가격 변동을 포함하는 충분히 큰 데이터 집합에서 평균을 계산하여 도달 할 수 있습니다. 평균이 높을수록 좋습니다.
표준 편차
표준 편차는 평균에서 평균적으로 값이 벗어나는 양을 나타냅니다. 표준 편차가 높을수록 불확실성이 높아져 투자 위험이 높아집니다.
다음은 동일한 그래픽 표현입니다.
따라서 평균 및 표준 편차를 통한 정규 분포의 그래픽 표현을 통해 명확하게 정의 된 범위 내에서 수익과 위험을 모두 표현할 수 있습니다.
일부 데이터 세트가 정규 분포 패턴을 따르는 경우 평균이 예상 수익을 알 수있게하고 표준 편차를 통해 값의 약 68 %를 알 수 있음을 알면 도움이됩니다. 1 표준 편차 내에 있고, 2 표준 편차 내에 95 %, 값의 99 %가 3 표준 편차 내에 있습니다. 평균이 1.5이고 표준 편차가 1 인 데이터 세트는 평균이 1.5이고 표준 편차가 0.1 인 다른 데이터 세트보다 훨씬 위험합니다.
선택한 각 자산 (예: 주식, 채권 및 자금)에 대한 이러한 값을 알면 투자자는 예상 수익과 위험을 인식하게됩니다.
이 개념을 적용하기 쉽고 단일 주식, 채권 또는 자금에 대한 위험과 수익을 나타냅니다. 그러나 이것이 여러 자산의 포트폴리오로 확장 될 수 있습니까?
개인은 단일 주식이나 채권을 사거나 뮤추얼 펀드에 투자함으로써 거래를 시작합니다. 점차적으로 그들은 지주를 늘리고 여러 주식, 펀드 또는 기타 자산을 구매하여 포트폴리오를 만드는 경향이 있습니다. 이 증분 시나리오에서 개인은 전략이나 많은 예측없이 포트폴리오를 구축합니다. 전문 펀드 매니저, 트레이더 및 마켓 메이커는 체계적인 방법에 따라“정규 분포”개념에 기반을 둔 현대 포트폴리오 이론 (MPT)이라는 수학적 접근법을 사용하여 포트폴리오를 구축합니다.
현대 포트폴리오 이론
현대 포트폴리오 이론 (MPT)은 다양한 자산의 비율을 선택하여 주어진 양의 포트폴리오 위험에 대해 포트폴리오의 예상 수익을 최대화하기위한 체계적인 수학적 접근 방식을 제공합니다. 또는 주어진 수준의 예상 수익률에 대한 위험을 최소화 할 수도 있습니다.
이 목표를 달성하기 위해 포트폴리오에 포함 할 자산은 자체 고유의 장점을 기준으로 선택하는 것이 아니라 포트폴리오의 다른 자산과 비교하여 각 자산의 성능을 기준으로 선택해야합니다.
간단히 말해서 MPT는 최상의 결과를 위해 포트폴리오 다각화를 가장 잘 달성하는 방법을 정의합니다. 허용 가능한 수준의 위험에 대한 최대 수익 또는 원하는 수준의 수익에 대한 최소 위험.
빌딩 블록
MPT는 발명가들이 고귀한 상을 수상했을 때 소개 된 혁신적인 개념이었습니다. 이 이론은 투자의 다각화를 안내하는 수학적 공식을 성공적으로 제공했습니다.
다각화는 위험 관리 기술로, 상관되지 않은 주식, 섹터 또는 자산 클래스에 투자하여 "한 바구니에있는 모든 달걀"위험을 제거합니다. 이상적으로는 포트폴리오에서 한 자산의 긍정적 인 성과가 다른 자산의 부정적인 성과를 상쇄 할 것입니다.
n 개의 서로 다른 자산이있는 포트폴리오의 평균 수익을 얻기 위해 구성 자산의 수익에 대한 비례 가중치 조합이 계산됩니다.
통계 계산 및 정규 분포의 특성으로 인해 전체 포트폴리오 수익률 (R p)은 다음과 같이 계산됩니다.
의 Rp = ∑wiRi
합계 (∑), 여기서 w i 는 포트폴리오에서 자산 i의 비례 가중치이며, R i 는 자산 i의 수익 (평균)입니다.
포트폴리오 위험 (또는 표준 편차)은 모든 자산 쌍에 대해 포함 된 자산의 상관 관계의 함수입니다 (쌍에서 서로에 대해).
통계 계산 및 정규 분포의 특성으로 인해 전체 포트폴리오 위험 (Std-dev) p 는 다음과 같이 계산됩니다.
의 (Std−dev) p = sqrt
여기서 cor-cof는 자산 i와 j의 수익률 사이의 상관 계수이고 sqrt는 제곱근입니다.
이것은 다른 자산에 대한 각 자산의 상대적 성능을 관리합니다.
이것은 수학적으로 복잡해 보이지만 여기에 적용된 간단한 개념에는 개별 자산의 표준 편차뿐만 아니라 서로 관련된 자산도 포함됩니다.
워싱턴 대학교 (University of Washington)에서 좋은 예를 얻을 수 있습니다.
MPT의 빠른 예
사고 실험으로서, 우리가 자본을 받았으며 두 개의 가용 자산 (A & B)에 얼마나 많은 자본을 할당해야하는지에 따라 예상 수익이 극대화되고 위험이 낮아진다 고 가정 해 봅시다.
또한 다음과 같은 값을 사용할 수 있습니다.
R a = 0.175
R b = 0.055
(Std-dev) a = 0.258
(Std-dev) b = 0.115
(Std-dev) ab = -0.004875
(Cor-Cof) ab = -0.164
각 자산 A 및 B에 대해 50-50의 할당으로 시작하여 R p 는 0.115로 계산되고 (Std-dev) p 는 0.1323이됩니다. 간단한 비교는이 2 가지 자산 포트폴리오의 경우 수익뿐만 아니라 위험도 각 자산의 개별 가치 사이에 중간에 있음을 나타냅니다.
그러나 우리의 목표는 개별 자산의 평균 이상으로 포트폴리오의 수익을 개선하고 위험을 줄여서 개별 자산의 수익보다 낮도록하는 것입니다.
이제 자산 A에서 1.5 자본 할당 위치와 자산 B에서 -0.5 자본 할당 위치를 취하겠습니다 (음수 자본 할당은 수령 한 주식과 자본이 양의 자본 할당으로 다른 자산의 잉여를 구매하는 데 사용된다는 것을 의미합니다. 다시 말해, 우리는 주식 B를 자본의 0.5 배로 매도하고 그 돈을 사용해 자본 A의 1.5 배에 해당하는 주식 A를 구매합니다.)
이 값을 사용하여 R p 를 0.1604로, (Std-dev) p 를 0.4005로 얻습니다.
마찬가지로 자산 A 및 B에 다른 할당 가중치를 계속 사용하고 다른 Rp 및 (Std-dev) p 세트에 도달 할 수 있습니다. 원하는 수익률 (Rp)에 따라 가장 적합한 위험 수준 (std-dev) p을 선택할 수 있습니다. 또는 원하는 위험 수준에 대해 가장 유용한 포트폴리오 수익을 선택할 수 있습니다. 어느 쪽이든, 이 수학적 포트폴리오 이론 모델을 통해 원하는 위험과 수익 조합으로 효율적인 포트폴리오를 만드는 목표를 달성 할 수 있습니다.
자동화 된 도구를 사용하면 긴 수동 계산 없이도 가능한 한 최상의 할당 비율을 쉽고 원활하게 감지 할 수 있습니다.
MPT를 사용하는 효율적인 프론티어 인 자본 자산 가격 모델 (CAPM) 및 자산 가격도 동일한 일반 배포 모델에서 발전하여 MPT의 확장입니다.
MPT (및 기본 정규 분포)에 대한 과제
불행하게도, 수학적 모델이 완벽하지 않으며 각각의 모델에는 부적합과 한계가 있습니다.
주가 수익률이 정규 분포 자체를 따른다는 기본 가정은 계속해서 의문입니다. 값이 가정 된 정규 분포를 따르지 않는 경우에 대한 경험적 증거가 충분합니다. 이러한 가정을 바탕으로 복잡한 모형을 작성하면 편차가 큰 결과가 발생할 수 있습니다.
MPT로 더 나아가서, (이력 데이터에 기초하여) 고정 된 남아있는 상관 계수 및 공분산에 대한 계산 및 가정은 미래의 예상 값에 반드시 맞지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, 채권과 주식 시장은 2001 년부터 2004 년까지 영국 시장에서 완벽한 상관 관계를 보였으며, 두 자산의 수익이 동시에 감소했습니다. 실제로, 그 역전은 2001 년 이전의 오랜 역사적 기간 동안 관찰되었습니다.
이 수학적 모델에서는 투자자 행동이 고려되지 않습니다. 부분 자본 할당 및 자산 단락 가능성이 가정 되더라도 세금 및 거래 비용은 무시됩니다.
실제로 이러한 가정 중 어느 것도 사실이 아닐 수 있습니다. 즉, 실현 된 재무 수익은 예상 수익과 크게 다를 수 있습니다.
결론
수학적 모델은 추적 가능한 단일 숫자로 일부 변수를 수량화하는 좋은 메커니즘을 제공합니다. 그러나 가정의 한계로 인해 모델이 실패 할 수 있습니다.
포트폴리오 이론의 기초를 형성하는 정규 분포는 반드시 주식 및 기타 금융 자산 가격 패턴에 적용되지 않을 수도 있습니다. 포트폴리오 이론 자체에는 중요한 재무 결정을 내리기 전에 비판적으로 검토해야 할 많은 가정이 있습니다.
