이항 옵션 가격 모델 이해

주가 결정

거래 가능한 자산에 대한 정확한 가격에 동의하는 것은 어려운 일입니다. 따라서 주가는 지속적으로 변합니다. 실제로 기업은 매일 밸류에이션을 거의 변경하지 않지만 주가와 밸류에 이는 거의 매 초마다 변경됩니다. 거래 가능한 자산의 정확한 가격 결정에 대한 합의에 도달하기가 어려워 차익 거래 기회가 짧아집니다.

그러나 많은 성공적인 투자는 현재의 가치 평가에 대한 간단한 질문으로 귀결됩니다. 미래의 미래 지불에 대한 현재의 현재 가격은 얼마입니까?

이항 옵션 평가

경쟁 시장에서 차익 거래 기회를 피하려면 동일한 지불 구조를 가진 자산의 가격이 같아야합니다. 옵션 평가는 어려운 작업이었으며 가격 변동으로 인해 차익 거래 기회가 발생했습니다. Black-Scholes는 가격 옵션에 가장 많이 사용되는 모델 중 하나이지만 제한이 있습니다.

이항 옵션 가격 모델은 가격 옵션에 사용되는 또 다른 인기있는 방법입니다.

예

현재 시가가 $ 100 인 특정 주식에 대한 통화 옵션이 있다고 가정합니다. At-the-money (ATM) 옵션의 행사가는 1 년 동안 만료되는 시간과 함께 $ 100입니다. Peter와 Paula라는 두 명의 상인이 있는데, 이들은 모두 주가가 1 년에 110 달러로 상승하거나 90 달러로 하락할 것에 동의합니다.

그들은 1 년의 주어진 시간 프레임에서 예상 가격 수준에 동의하지만 상향 또는 하향 이동의 가능성에 동의하지 않습니다. Peter는 주식 가격이 110 달러로 올 확률은 60 %이고 Paula는 40 %라고 믿고 있습니다.

이를 바탕으로 누가 통화 옵션에 더 많은 가격을 지불 할 의향이 있습니까? 아마도 Peter는 상승 가능성이 높을 것으로 예상합니다.

이항 옵션 계산

평가에 의존하는 두 가지 자산은 콜 옵션과 기초 주식입니다. 참가자들 사이에 기본 주가가 1 년 안에 현재 $ 100에서 $ 110 또는 $ 90으로 이동할 수 있으며 다른 가격 변동은 없을 것이라는 합의가 있습니다.

차익 거래가없는 세계에서이 두 자산으로 구성된 포트폴리오를 만들어야하는 경우 기본 가격이 $ 110 또는 $ 90 인 곳과 상관없이 포트폴리오의 순수익은 항상 동일하게 유지되도록 옵션과 기초 주식을 호출해야합니다.. 이 포트폴리오를 생성하기 위해 기본 및 짧은 단일 통화 옵션의 "d"주식을 구입한다고 가정 해보십시오.

가격이 110 달러가되면 주식은 $ 110 * d의 가치가 있으며, 짧은 콜 지불로 10 달러를 잃게됩니다. 포트폴리오의 순 가치는 (110d-10)입니다.

가격이 $ 90로 하락하면 귀하의 주식은 $ 90 * d의 가치가 있으며 옵션은 무가치하게 만료됩니다. 포트폴리오의 순 가치는 (90d)입니다.

의 $\begin{matrix} h (디) - 미디엄 = 엘 (디) \\ 어디: \\ h = 가장 높은 잠재적 기본 가격 \\ 디 = 기초 주식수 \\ 미디엄 = 짧은 콜 지불에 손실 \\ 엘 = 최저 잠재 가격 \end{matrix} \ begin {aligned} & h (d)-m = l (d) \ & \ textbf {where:} \ & h = \ text {최고의 잠재적 인 기초 가격} \ & d = \ text {기본 주식의 수} \ & m = \ text {짧은 콜 상환으로 돈 손실} \ & l = \ text {최저 잠재 기본 가격} \ \ end {aligned}$ h (d) −m = l (d) 여기서: h = 가장 높은 잠재적 인 기초 가격 = 기초 주식의 수 m = 짧은 통화로 손실 된 돈 payoffl = 가장 낮은 잠재적 인 기초 가격

따라서 부분 구매가 가능하다고 가정하면 절반의 주식을 구매하면 1 년의 주어진 기간 내에 두 가지 상태 모두에서 그 가치가 동일하게 유지되도록 포트폴리오를 생성하게됩니다.

의 $\begin{matrix} 110 디 - 10 = 90 디 \\ 디 = \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {aligned} & 110d-10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {aligned}$ 110d−10 = 90dd = 21

(90d) 또는 (110d-10) = 45로 표시된이 포트폴리오 값은 1 년 동안 하락한 것입니다. 현재 가치를 계산하기 위해 위험이없는 수익률 (5 %로 가정)로 할인 할 수 있습니다.

의 $\begin{matrix} 현재 가치 & = 90 디 \times {이자형}^{(- 5 % \times 1 년)} \\ = 45 \times 0.952 삼 \\ = 42.85 \end{matrix} \ begin {aligned} text {선물 가치} & = 90 일 \ times e ^ {(-5 \ % \ times 1 \ text {Year})} \ & = 45 \ times 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ 끝 {정렬}$ 현재 가치 = 90d × e (−5 % × 1 년) = 45 × 0.9523 = 42.85

현재 포트폴리오는 기본 주식의 ½ 몫 (시장 가격 $ 100)과 한 번의 짧은 콜로 구성되므로 현재 가치와 같아야합니다.

의 $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times 통화 가격 = $ 42.85 \\ 통화 가격 = $ 7.14 즉 오늘의 통화 가격 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ frac {1} {2} times 100-1 \ times \ text {Call Price} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Call Price} = \ $ 7.14 \ text {, 즉 통화 가격 오늘의} \ \ end {aligned}$ 21 × 100−1 × 통화 가격 = $ 42.85 통화 가격 = $ 7.14, 즉 오늘의 통화 가격

이는 기본 가격이 어떤 방식으로 진행 되든 포트폴리오 값이 동일하게 유지된다는 가정을 기반으로하기 때문에 상향 이동 또는 하향 이동의 가능성은 아무런 역할을하지 않습니다. 기본 가격 변동에 관계없이 포트폴리오는 위험이 없습니다.

두 경우 모두 (110 달러로 상향 이동하고 90 달러로 하향 이동한다고 가정하면) 포트폴리오는 위험에 중립적이며 무위험 수익률을 얻습니다.

따라서 상인 피터 (Peter)와 폴라 (Paula)는이 이동 옵션 (60 % 및 40 %)에 대한 서로 다른 인식에도 불구하고이 콜 옵션에 대해 동일한 $ 7.14를 기꺼이 지불 할 것입니다. 개별적으로 인식 된 확률은 옵션 평가에 중요하지 않습니다.

개별 확률이 중요하다고 가정하면 차익 거래 기회가 제시되었을 수 있습니다. 현실에서는 그러한 차익 거래 기회가 약간의 가격 차이로 존재하며 단기적으로 사라집니다.

그러나 옵션 계산에 영향을 미치는 중요하고 민감한 요소 인 이러한 모든 계산에서 변동성이 큰 변동성은 어디에 있습니까?

변동성은 이미 문제 정의의 본질에 포함되어 있습니다. 가격 수준 ($ 110 및 $ 90)의 두 가지 (따라서 "이항"이라는 이름) 상태를 가정하면, 변동성이이 가정에 내재되어 있으며 자동으로 포함됩니다 (이 예에서는 어느 쪽이든 10 %).

흑인 학교

그러나이 방법은 일반적으로 사용되는 Black-Scholes 가격과 일치하고 정확합니까? 옵션 계산기 결과 (OIC 제공)는 계산 된 값과 밀접하게 일치합니다.

불행히도 실제 세계는 "단지 두 주"만큼 단순하지 않습니다. 주식은 만기 전에 여러 가격 수준에 도달 할 수 있습니다.

이 두 수준으로 만 제한되는 이항 가격 모델에 이러한 여러 수준을 모두 포함 할 수 있습니까? 예, 가능 합니다만 이해하려면 간단한 수학이 필요합니다.

간단한 수학

이 문제점 및 솔루션을 일반화하려면 다음을 수행하십시오.

"X"는 주식의 현재 시장 가격이고 "X * u"및 "X * d"는 "t"년 후의 상하 이동에 대한 미래 가격입니다. 계수 "u"는 상향 이동을 나타내며 "d"는 0과 1 사이에 있으므로 1보다 큽니다. 위의 예에서 u = 1.1 및 d = 0.9입니다.

만기시 상하 이동에 대한 콜 옵션 지급은 "P _up "및 "P _dn "입니다.

의 $\begin{matrix} VUM = 에스 \times 엑스 \times 유 - 피_{쪽으로} \\ 어디: \\ VUM = 상향 이동시 포트폴리오의 가치 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u-P_ \ text {up} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VUM} = \ text {포트폴리오 가치 위로 이동하는 경우} \ \ end {aligned}$ VUM = s × X × u−Pup 여기서: VUM = 상승시 포트폴리오 가치

의 $\begin{matrix} VDM = 에스 \times 엑스 \times 디 - 피_{내려가는} \\ 어디: \\ VDM = 하향 이동시 포트폴리오의 가치 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d-P_ \ text {down} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VDM} = \ text {포트폴리오 가치 아래로 이동하는 경우} \ \ end {aligned}$ VDM = s × X × d−Pdown 여기서: VDM = 아래로 움직일 때의 포트폴리오 가치

두 가지 가격 변동의 경우 비슷한 평가를 위해:

의 $에스 \times 엑스 \times 유 - 피_{쪽으로} = 에스 \times 엑스 \times 디 - 피_{내려가는} s \ times X \ times u-P_ \ text {up} = s \ times X \ times d-P_ \ text {down}$ s × X × u−Pup = s × X × d−Pdown

의 $\begin{matrix} 에스 & = \frac{피_{쪽으로} - 피_{내려가는}}{엑스 \times (유 - 디)} \\ = 구매할 주식의 수 \\ 위험이없는 포트폴리오 \end{matrix} \ begin {aligned} s & = \ frac {P_ \ text {up}-P_ \ text {down}} {X \ times (u-d)} \ & = \ text {구매할 주식 수} \ & \ phantom {=} text {위험이없는 포트폴리오} \ \ end {aligned}$ s = X × (u−d) Pup−Pdown-= 구매할 주식의 수 = 위험이없는 포트폴리오

"t"연도 말에 포트폴리오의 미래 가치는 다음과 같습니다.

의 $\begin{matrix} 위로 이동하는 경우 & = 에스 \times 엑스 \times 유 - 피_{쪽으로} \\ = \frac{피_{쪽으로} - 피_{내려가는}}{유 - 디} \times 유 - 피_{쪽으로} \end{matrix} \ begin {aligned} text {Up Move의 경우} & = s \ times X \ times u-P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up}-P_ \ text {down} } {u-d} times u-P_ \ text {up} \ \ end {aligned}$ 위로 이동시 = s × X × u−Pup = u−dPup−Pdown × u−Pup

의 $\begin{matrix} 아래로 이동하는 경우 & = 에스 \times 엑스 \times 디 - 피_{내려가는} \\ = \frac{피_{쪽으로} - 피_{내려가는}}{유 - 디} \times 디 - 피_{내려가는} \end{matrix} \ begin {aligned} text {다운 이동의 경우} & = s \ times X \ times d-P_ \ text {down} \ & = \ frac {P_ \ text {up}-P_ \ text {down} } {u-d} times d-P_ \ text {down} \ \ end {aligned}$ 다운 이동의 경우 = s × X × d−Pdown = u−dPup−Pdown × d−Pdown

현재 가치는 무위험 수익률로 할인하여 얻을 수 있습니다.

의 $\begin{matrix} PV = 이자형 (- 아르 자형 티) \times \\ 어디: \\ PV = 현재 가치 \\ 아르 자형 = 수익률 \\ 티 = 시간 (년) \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {PV} = e (-rt) times \ left \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {PV} = \ text {선물 일 가치} \ & r = \ text {반 환율} \ & t = \ text {시간, 년 단위} \ \ end {aligned}$ PV = e (−rt) × 여기: PV = 현재 날짜 평가자 = 회복률 = 시간 (년)

이는 X 가격의 "s"주식 포트폴리오 보유와 일치해야하며 짧은 콜 값 "c"(현재 보유 (s * X-c) 보유는이 계산과 동일해야합니다.) "c"를 해결하면 마침내 같이:

참고: 통화 프리미엄이 짧으면 빼기가 아닌 포트폴리오에 추가되어야합니다.

의 $씨 = \frac{이자형 (- 아르 자형 티)}{유 - 디} \times c = \ frac {e (-rt)} {u-d} 시간$ c = u-de (−rt) ×

방정식을 작성하는 또 다른 방법은 방정식을 다시 정렬하는 것입니다.

"q"를 다음과 같이 사용하십시오.

의 $큐 = \frac{이자형 (- 아르 자형 티) - 디}{유 - 디} q = \ frac {e (-rt)-d} {u-d}$ q = u-de (−rt) −d

그러면 방정식은 다음과 같습니다.

의 $씨 = 이자형 (- 아르 자형 티) \times (큐 \times 피_{쪽으로} + (1 - 큐) \times 피_{내려가는}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {up} + (1-q) times P_ \ text {down})$ c = e (−rt) × (q × Pup + (1−q) × Pdown))

“q”로 방정식을 재정렬하면 새로운 관점이 생겼습니다.

이제“q”를 기본의 상향 이동 확률로 해석 할 수 있습니다 (“q”는 P _up 과 연관되고“1-q”는 P _dn 과 연관 됨). 전체적으로이 방정식은 현재 옵션 가격, 만기시 상환 할인가를 나타냅니다.

이 "Q"는 다릅니다

이 확률“q”는 기초의 상향 이동 또는 하향 이동의 확률과 어떻게 다릅니 까?

의 $\begin{matrix} VSP = 큐 \times 엑스 \times 유 + (1 - 큐) \times 엑스 \times 디 \\ 어디: \\ VSP = 시간에 주가의 가치 티 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1-q) times X \ times d \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {VSP} = \ text {시간에 주가의 가치} t \\ \ end {aligned}$ VSP = q × X × u + (1−q) × X × dwhere: VSP = 시간 t 주가의 값

"q"값을 대체하고 재 배열하면 "t"시간의 주가는 다음과 같습니다.

의 $\begin{matrix} 주가 = 이자형 (아르 자형 티) \times 엑스 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {주가} = e (rt) times X \\ \ end {aligned}$ 주가 = e (rt) × X

이 두 국가의 세계에서, 주가는 단순히 무위험 자산과 마찬가지로 무위험 수익률에 의해 상승하기 때문에 어떠한 위험과도 독립적입니다. 이 모델에서는 투자자가 위험에 무관심하므로 위험 중립 모델이됩니다.

확률 "q"및 "(1-q)"는 위험 중립 확률로 알려져 있으며 평가 방법은 위험 중립 평가 모델로 알려져 있습니다.

예제 시나리오에는 중요한 요구 사항이 하나 있습니다. 향후 지불 구조는 정밀하게 요구됩니다 (레벨 $ 110 및 $ 90). 실제로는 단계 기반 가격 수준에 대한 명확성이 불가능합니다. 오히려 가격은 무작위로 움직이며 여러 수준으로 정해질 수 있습니다.

예제를 더 확장하기 위해 2 단계 가격 수준이 가능하다고 가정하십시오. 우리는 두 번째 단계의 최종 보수를 알고 있으며 오늘 (초기 단계에서) 옵션의 가치를 평가해야합니다.

거꾸로 작업하면 중간 첫 번째 단계 평가 (t = 1)는 두 번째 단계 (t = 2)에서 최종 지불을 사용하여 수행 한 다음 계산 된 첫 번째 단계 평가 (t = 1), 현재 평가 (t = 이러한 계산으로 0)에 도달 할 수 있습니다.

옵션 가격은 2 위이며 4와 5의 대가가 사용됩니다. 3 위의 가격을 얻으려면 5와 6의 지불액이 사용됩니다. 마지막으로 계산 된 지불금 2와 3은 1 위의 가격을 얻는 데 사용됩니다.

이 예에서는 두 단계에서 위 (아래) 이동에 대해 동일한 요소를 가정합니다. u와 d는 복합 방식으로 적용됩니다.

작업 예

행사 가격이 $ 110 인 풋 옵션이 현재 $ 100로 거래되고 1 년 후에 만료된다고 가정합니다. 연간 무위험 비율은 5 %입니다. 6 개월마다 가격이 20 % 증가하고 15 % 감소 할 것으로 예상됩니다.

여기에서 u = 1.2 및 d = 0.85, x = 100, t = 0.5

위의 파생 된 공식을 사용하여

의 $큐 = \frac{이자형 (- 아르 자형 티) - 디}{유 - 디} q = \ frac {e (-rt)-d} {u-d}$ q = u-de (−rt) −d

우리는 q = 0.35802832를 얻습니다

포인트 2의 풋 옵션 값

의 $\begin{matrix} 피_{2} = 이자형 (- 아르 자형 티) \times (피 \times 피_{Upup} + (1 - 큐) 피_{updn}) \\ 어디: \\ 피 = 풋 옵션의 가격 \end{matrix} \ begin {aligned} & p_2 = e (-rt) times (p \ times P_ \ text {upup} + (1-q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {where:} \ & p = \ text {퍼팅 옵션 가격} \ \ end {aligned}$ p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1−q) Pupdn)) 여기서: p = 퍼팅 옵션의 가격

P _업업 조건에서 기본은 = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 _이며 P _{업 업은} 0입니다.

P _updn 조건에서, 기본은 = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102로 이어져 P _updn = $ 8이됩니다.

P _dndn 조건에서, 기본은 = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25가되어 P _dndn = $ 37.75가됩니다.

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

마찬가지로 p ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

의 $피_{1} = 이자형 (- 아르 자형 티) \times (큐 \times 피_{2} + (1 - 큐) 피_{삼}) p_1 = e (-rt) times (q \ times p_2 + (1-q) p_3)$ p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1−q) p3)

따라서 풋 옵션의 가치는 p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29입니다.

마찬가지로 이항 모형을 사용하면 전체 옵션 기간을 좁혀 여러 단계와 수준을 더욱 세분화 할 수 있습니다. 컴퓨터 프로그램 또는 스프레드 시트를 사용하여 한 번에 한 단계 씩 뒤로 이동하여 원하는 옵션의 현재 가치를 얻을 수 있습니다.

또 다른 예

만기까지 9 개월, 행사가는 $ 12, 현재 가격은 $ 10 인 유럽 유형 풋 옵션을 가정합니다. 모든 기간 동안 5 %의 무위험 비율을 가정하십시오. 3 개월마다 기본 가격이 20 % 상승 또는 하락할 수 있다고 가정하면 u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 및 3 단계 이항 트리가 나타납니다.

빨간색은 기본 가격을 나타내고 파란색은 풋 옵션의 지불을 나타냅니다.

위험 중립 확률 "q"는 0.531446으로 계산됩니다.

위의 "q"값과 t = 9 개월의 지불 값을 사용하여 t = 6 개월의 해당 값은 다음과 같이 계산됩니다.

또한 t = 6에서 이러한 계산 된 값을 사용하여 t = 3에서 t = 0에서 값은 다음과 같습니다.

이는 현재 풋 옵션의 가치를 $ 2.18로, Black-Scholes 모델 ($ 2.30)을 사용하여 계산 한 것과 거의 비슷합니다.

결론

컴퓨터 프로그램을 사용하면 이러한 집중 계산을 쉽게 수행 할 수 있지만 미래 가격 예측은 옵션 가격 책정에 대한 이항 모델의 주요 제한 사항으로 남아 있습니다. 시간 간격이 미세할수록 각 기간의 끝에서 높은 수준의 정밀도로 보상을 예측하기가 더 어려워집니다.

그러나 다른 기간에 예상되는 변경 사항을 통합 할 수있는 유연성은 플러스이므로 초기 운동 평가를 포함한 미국 옵션의 가격 책정에 적합합니다.

이항 모델을 사용하여 계산 된 값은 옵션 가격 책정에 대한 이항 모델의 유용성과 정확성을 나타내는 Black-Scholes와 같이 일반적으로 사용되는 다른 모델에서 계산 된 값과 거의 일치합니다. 이항 가격 모델은 거래자의 선호도에 따라 개발 될 수 있으며 Black-Scholes의 대안으로 작동 할 수 있습니다.

차례: